Forskningsområden inom tillämpad matematik
Forskningen inom tillämpad matematik är indelade i åtta områden som är matematisk modellering inom kontinuummekanik, funktionalanalys, geometrisk analys och allmän relativitetsteori, tillämpad fourieranalys, spatiala och spatio-temporal statistik, maskininlärning, icke-linjära PDE samt numerisk linjär algebra och modellanpassning.
Spatiala och spatio-temporal statistik
Spatiala och spatio-temporal statistik är dedikerat till att analysera data som uppvisar rumsliga beroenden, vilket innefattar punktmönsterdata eller geostatistisk data.
Punktmönsterdata manifesterar sig på olika rumsliga skalor och omfattar observationer såsom slumpmässiga platser för punktliknande defekter i kiseldiamanter, platser för tumörceller och immunsystemet i mikroskopiska bilder av lymfkörtlar, brottsplatsplatser, platser och tider för infekterade djur, samt epicentra och timing av jordbävningar. Väsentliga hypoteser innefattar förståelse för hur förekomsten av punkter korrelerar med miljövariabler och att fastställa om punktmönster uppvisar ojämnhet, klustering eller regelbundenhet. Till exempel, i sammanhang med brottsdata är en central fråga hur brottshändelser relaterar till socioekonomiska variabler eller polisstrategier. Vid analys av skogsbeståndsdata finns det ett intresse för att utforska förhållandet mellan träds platser och kovariater som terränghöjd, markkvalitet, samt förstå hur trädmönster varierar på grund av klimatförändringar.
Geostatistisk data omfattar geografiska observationer av en intressevariabel, såsom mätningar av marknäringsämnen på ett fält där de rumsliga platserna för markprover är intrinsikala för datan. Inom geostatistisk data betraktas provtagningsplatser vanligtvis som fasta, och målet är att analysera variationer i den mätta variabeln över rummet.
Forskningen inom tillämpad matematik fokuserar främst på rumsliga och rumsligt-temporära punktmönsterdata. Viktiga forskningsområden innefattar skapandet av realistiska parametriska statistiska modeller skräddarsydda för rumsliga och rumsligt-temporära punktmönster, undersökning av de beräkningsmässiga och teoretiska aspekterna av parameterestimering, samt användning av inferensmetoder för dessa modeller. Dessutom finns det en betydande fokus på icke-parametriska sammanfattningsstatistik, vilket ger flexibilitet att utforska vetenskapliga hypoteser utan att behöva föreskriva en specifik modell för datan. I detta sammanhang utforskar vi också integrationen av maskininlärningstekniker inom rumsstatistik.
Geometrisk analys och allmän relativitetsteori
Geometrisk analys är på något sätt studiet av krökning. Eftersom krökning i grund och botten är en andra derivata, ligger fältet vid skärningspunkten av differentiell geometri och analysen av partiella differentialekvationer (PDE:er). Med andra ord kan geometrisk analys betraktas som studiet av geometri genom analys av PDE:er.
Allmänna relativitetsteorin är möjligen Einsteins största bidrag till vetenskapen och är vår nuvarande accepterade modell för både gravitation och själva universum. Hörnstenen i teorin är en ekvation som relaterar krökningen av rumtiden till den fysiska materiens innehåll i universum och leder oss till slutsatsen att gravitation inte är en kraft i den vanliga fysikens mening, utan snarare en effekt på grund av krökningen av rum och tid. Det innebär att förstå både gravitationen och universums storskaliga struktur handlar om att förstå krökning – det vill säga, det faller inom ramen för geometrisk analys.
Intressant nog är det inte bara matematiken som vägleder förståelsen av fysiken, utan även fysiken kan leda oss till en bättre förståelse av geometriska problem som a priori kan verka helt orelaterade till fysik. Större delen av forskningen inom detta område vid Luleå tekniska universitet fokuserar på detta samspel mellan fysik och geometri genom förhållandet mellan energi och skalärkrökning. Mer specifikt fokuserar vår forskning på geometriska olikheter i sammanhang med inledande data för Einsteins ekvationer och på problemet med kvasi-lokal massa inom allmän relativitetsteori.
Tillämpad Fourieranalys
Forskningen har senaste åren huvudsakligen bestått av signalbehandlingstillämpningar för olika typer av vibrationsanalys. I ett samarbete med Avdelningen för byggkonstruktion och brand samt externa aktörer från industri och samhälle har vibrationsmätningar på broar och andra byggnadskonstruktioner analyserats. Med hjälp av finita elementmodeller och olika optimeringsmetoder har nya skadedetekteringsmetoder utvecklats, där vi bland annat använt oss av så kallade glesa representationer för att utnyttja det faktum att de skador som uppstår oftast börjar som väldigt lokala skador.
En annan aktuell tillämpning har varit ett samarbete med stålindustrin och KTH för att mäta omrörningen av stålet vid ståltilllverkningen. Omrörningen genomförs genom att blåsa in olika ädelgaser i stålsmältan, men på grund av oundvikliga läckage vid spolstenen så vet man ej hur mycket gas som går in i stålsmältan, och de höga temperaturerna gör det extremt svårt att sänka ned mätinstrument i stålsmältan. Därför har vi utvecklat och provat ut nya metoder för att mäta omrörningen genom analys av vibrationsmätningar på skänk och från omgivande stålverk. Vi har provat använda så kallad "independent component analysis" för att separera vibrationer kopplade till omrörningen från vibrationer från omgivande stålverk. Tidigare metoder med så kallat "vibrationsindex" har kombinerats med för denna tillämpning nya maskininlärningsmetoder baserade på glesa representationer för att bättre identifiera vibrationer kopplade till själva omrörningen.
Tidigare forskning har även innefattat signalbehandling för signalöverförning av den typ som används i mobiltelefonnätet samt för VDSL-signaler i det fasta telefonnätet.
Numerisk linjär algebra och modellanpassning
Vi utvecklar och analyserar beräkningsalgoritmer för att bestämma okända parametrar i matematiska modeller så att modellerna blir bra anpassade till kända data. Vi hanterar både linjära och icke-linjära problem och använder både vanliga minstakvadrat-kriterier och mer robusta kriterier. Fokus ligger på att utveckla algoritmer som utnyttjar strukturen i problemet för att få effektiva och noggranna metoder. Några exempel är:
- Anpassning av stelkroppsrörelser från 3D-koordinater.
- Anpassning av ”Non Uniform Rational B-splines “ (Nurbs).
Båda exemplen ovan används i ett projekt, tillsammans med experimentell mekanik vid LTU, där vi utvecklat ett system för kontaktfri formverifiering som används inom tillverkningsindustrin
Uppdaterad:
Sidansvarig: Kontakta oss